二次関数基礎（グラフ）

今回は二次関数基礎の第２弾としてグラフを扱います。

具体的な内容は二次関数グラフの表記法、軸、頂点などについてです。

高校数学は関数が出来ないと終わります。

色々な分野で出てくるからです。

特にグラフの図示が出来ないと高校数学が嫌いになることが確定してしまうので今回の記事でしっかり解説していきます。

また、今回の内容では平方完成の知識が必要なので平方完成が分からないという人は以下の記事をご覧ください。

本記事を通して二次関数グラフの基礎を理解して簡単な問題が解けるようになってくれたら幸いです。

二次関数の表記法

二次関数の一般式は \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) と表すことが出来ます。

もしかしたら、教科書などには \(y=ax^{2}+bx+c\) と書いてあるかもしれませんが本記事では \(f(x)\) を用います。

何故かというと便利だからですね。

例えば、\(x=1\) の値と \(x=0\) の値が必要な時に \(y=ax^{2}+bx+c\) で考えると \(y=a+b+c,　y=c\) と出ますがこの書き方だと \(x\) に何の値を入れた結果なのかが分かりにくいです。

ですが、\(f(x)=ax^{2}+bx+c\) と置けば、\(f(1)=a+b+c,　f(0)=c\) と書けるので \(x\)に何の値を入れた結果なのかがシンプルに書くことが出来ます。

以下に例題を示します。必要ない人は読み飛ばしてもらって構いません。

直線式・平行移動

一般的な二次関数グラフを考えるときに必要な知識をまとめておきます。

こちらも簡単な内容なので分かってる人は読み飛ばしてもらって構いません。

直線式

最初に説明するのは直線式についてです。

直線式の一般系は \(y=ax+b\) であり、これは知っていると思います。

その他にも直線式として \(y=a\) や \(x=a\) という式があります。

\(y=a\) というしきは任意の \(x\) に対して \(y=a\) を取るので \(x\) 軸に平行な直線になります。

同様に \(x=a\) は \(y\) 軸に平行な直線になります。

平行移動

次に平行移動について説明します。

平行移動とは簡単に言うと \(x\) 軸または \(y\) 軸に対して平行に点を移動させることを言います。

例えば、\((2, 3)\) という点を \(x\) 軸方向に \(2\)、\(y\) 軸方向に \(1\) 平行移動させると \((4, 4)\) に移動することになります。

では、一次関数 \(f(x)=ax+b\) を \(x\) 軸方向に \(p\)、\(y\) 軸方向に \(q\) 平行移動することを考えてみましょう。

関数は基本的に点の集合なので \((x, f(x))\) を \(x\) 軸方向に \(p\)、\(y\) 軸方向に \(q\) 平行移動させることを考えれば良いことになります。

ここで、\(f(x)+q=a(x+p)+b\) になると考えて人はいないでしょうか。

実はこれは間違っています。

考え方のポイントは移動先の座標を \((X, F(X))\) と置くことです。

こうすれば、平行移動の考え方より \(X=x+p, F(X)=f(x)+q\) となります。

よって、 \(x=X-p, f(x)=F(X)-q\) となるので \(f(x)=ax+b\) に代入して \(F(X)-q=a(X-p)+b\) となります。

\(F(X)=Y\) よりこのグラフは \(XY\) 平面でのグラフですが \(XY\) 平面と \(xy\) 平面は同一視できるので \(X, Y\)を \(x, y\) に書き換えて \(f(x)-q=a(x-p)+b\) となります。

このように、移動先の座標を \((X, F(X))\) と置いて \(X, F(X)\) の関係式を求めたのちに \(x, f(x)\) に書き換えて答えを導くのは軌跡と領域の分野でも頻出なので覚えておいてください。

グラフ

一般的な二次関数グラフの概形について考えていきます。

中学でも扱うような簡単な二次関数である \(f(x)=ax^{2}\) から考えていきます。

グラフを図示すると以下のようになります。